توزيع طبيعي متعدد المتغيرات

المتجه العشوائي x = (X₁, …, X_k)' يُقال إنه يحتوي على التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات، إذا استوفى الشروط الموازية التالية.[1]

• كل تركيب خطي من مكوناته Y = a₁X₁ + … + a_kX_k يتم توزيعه بشكل طبيعي. هذا يعني، لأي متجه ثابت a ∈ R^k، المتغير العشوائي Y = a′x لديه توزيع طبيعي وحيد المتغير.
• يوجد هناك متغير ℓ-عشوائي z، الذي تُعتبر مكوناته معيار مستقل للمتغيرات العشوائية الطبيعية، a k-متغير μ،و a k×ℓ مصفوفة A، مثل x = Az + μ. هنا ℓ يكون بمثابة صف مصفوفة التغاير Σ = AA′. خاصة في حالة الصف الكامل، انظر المقطع أدناه عن التفسير الهندسي.
• يوجد k-متجه μ وk×k مصفوفة Σ متناظر ذو قيمة غير سالبة محددة -، بحيث تكون الدالة المميزة لـx

${\displaystyle \varphi _{\mathbf {x} }(\mathbf {u} )=\exp {\Big (}i\mathbf {u} '{\boldsymbol {\mu }}-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {u} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {u} {\Big )}.}$

يسمح لمصفوفة التغاير أن تكون مفردة (في الحالة التي لا يوجد للتوزيع المتكافئ كثافة). كثيرًا ما تظهر تلك الحالة في الإحصاء، فعلى سبيل المثال، تظهر في توزيع متجه اختلاف القيم المتبقية في انحدار المربعات الصغرى العادية. يجب ملاحظة أن X_i لا يكونوا مستقلين غالبًا، ويمكن النظر إليهم كنتيجة لتطبيق المصفوفة A على مجموعة من متغيرات غاوسي المستقلة z.

• دالة الكثافة الاحتمالية

• بوابة إحصاء