توزيع باسكال

بفرض ان هناك تجربة أو محاولة لها نتيجتان فقط هما النجاح أو الفشل وأن احتمال النجاح في أي محاولة هو P (احتمال الفشل 1-P) نفرض أن هذه التجربة تتكرر حتى الحصول على r نجاح. فإذا كانت X عدد مرات الفشل فيكون X + r عدد مرات اجراء التجربة حتى الحصول على r نجاح. عدد مرات اجراء التجربة يمكن ان يكون :${\displaystyle r,r+1,r+2,...}$ وهذا يعني أن X يمكن أن تكون:${\displaystyle 0,1,2,...}$ الظواهر التي يمكن أن يصفها توزيع ذي الحدين السالب كثيرة في الحياة العملية منها مثلاً :

عندما يقرر لاعب الاعتزال عندما يبلغ عدد مرات فوز فريقة 25 فوز فتكون r=25 ,

x عدد مرات هزيمة الفريق , (X + r) عدد مرات لعب الفريق حتى يفوز في 25 مباراة . المتغير العشوائي X يتبع توزيع ذي الحدين السالب بمعالم r, p

${\displaystyle f(x)=\mathbf {C} _{r-1}^{x+r-1}p^{r}q^{x}}$

${\displaystyle x=0,1,2,...}$

  ${\displaystyle 0\leq {p}\leq {1}}$     
   q= 1-p
 r عدد صحيح موجب

ويسمى توزيع الاحتمال حينئذ بتوزيع باسكال دليله p , r كما يسمى المتغير X بمتغير باسكال .

واضح ان ${\displaystyle f(x)\geq {0}}$ لجميع قيم X كما ان

${\displaystyle \sum _{x=0}^{\infty }f(x)=p^{r}\sum _{x=0}^{\infty }\mathbf {C} _{r-1}^{x+r-1}q^{x}}$

${\displaystyle =p^{r}[1+{\frac {r}{1!}}q+{\frac {r(r+1)}{2!}}q^{2}+{\frac {r(r+1)(r+2)}{3!}}q^{3}+...]}$

${\displaystyle =p^{r}(1-q)^{-r}=1}$

وهذا يوكد أن ${\displaystyle f(x)}$ داله احتمالية وقد سميت بتوزيع ذي الحدين السالب لأن حدود مفكوك ${\displaystyle p^{r}(1-q)^{-r}}$ تناظر احتمالات قيم X المتتالية. كما أن يمكن كتابتها على الصورة التالية:

${\displaystyle f(x)=\mathbf {C} _{x}^{-r}p^{r}(-q)^{x}=\mathbf {C} _{x}^{-r}({\frac {-q}{p}})^{x}({\frac {1}{p}})^{-r-x}}$

فإذا قورنت بتوزيع ذي الحدين بمعالم :${\displaystyle -r,({\frac {-q}{p}})}$ عرفنا سبب تسميتها بتوزيع ذي الحدين السالب .

عندما r = 1 نجد ان توزيع ذي الحدين السالب يؤول إلى التوزيع الهندسي.

نعلم أن :${\displaystyle \sum _{x=0}^{\infty }\mathbf {C} _{r-1}^{x+r-1}q^{x}=(1-q)^{-r}}$

بتفاضل الطرفين بالنسبة إلى q نحصل على

 ${\displaystyle \sum _{x=0}^{\infty }x\mathbf {C} _{r-1}^{x+r-1}q^{x-1}=r(1-q)^{-r-1}}$

بالتفاضل الثاني

:${\displaystyle \sum _{x=0}^{\infty }x(x-1)\mathbf {C} _{r-1}^{x+r-1}q^{x-2}=r(r+1)(1-q)^{-r-2}}$

وعلى ذلك فإن

${\displaystyle \mu =E(x)=\sum _{x=0}^{\infty }x\mathbf {C} _{r-1}^{x+r-1}p^{r}q^{x}}$

${\displaystyle =r(1-q)^{-r-1}qp^{r}={\frac {rq}{p}}}$

وبالمثل فإن

${\displaystyle E{(x(x-1))}=\sum _{x=0}^{\infty }x(x-1)\mathbf {C} _{r-1}^{x+r-1}p^{r}q^{x}}$

${\displaystyle =r(r+1){\frac {q^{2}}{p^{2}}}}$

أي أن

${\displaystyle E(x^{2})=r(r+1){\frac {q^{2}}{p^{2}}}+{\frac {rq}{p}}}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=E(x^{2})-\mu ^{2}}$

${\displaystyle =r(r+1){\frac {q^{2}}{p^{2}}}+{\frac {rq}{p}}-{\frac {r^{2}q^{2}}{p^{2}}}}$

${\displaystyle ={\frac {rq}{p^{2}}}}$

${\displaystyle M(t)=E(e^{xt})}$

${\displaystyle =p^{r}\sum _{x=0}^{\infty }\mathbf {C} _{r-1}^{x+r-1}(qe^{t})^{x}}$

${\displaystyle \therefore M(t)=p^{r}(1-qe^{t})^{-r}}$

${\displaystyle M'(t)=rqp^{r}e^{t}(1-qe^{t})^{-r-1}}$

${\displaystyle \therefore \mu =M'(0)=rqp^{r}(1-q)^{-r-1}={\frac {rq}{p}}}$

ان الحالات التي يظهر فيها متغير باسكال تنشأ في المعتاد عندما يستخدم ما يسمى بالمعاينة التتابعية sequential sampling حيث لا يحدد حجم العينة مسبقا , بل تختار المشاهدات بتتابع عشوائي الواحدة بعد الأخرى وتتوقف هذه العملية حين يجتمع عدد كاف من المشاهدات يمكننا من اتخاذ القرار بحسب قاعدة معينه توضع سلفا .

• بوابة رياضيات