تحدب

إذا كان سعر الفائدة العائم الثابت هو r وسعر السند هو B ، فإن التحدب C يتم تعريفه على أنه:

${\displaystyle C={\frac {1}{B}}{\frac {d^{2}\left(B(r)\right)}{dr^{2}}}.}$

هناك طريقة أخرى للتعبير عن C وهي من حيث المدة المعدلة D:

${\displaystyle {\frac {d}{dr}}B(r)=-DB}$

و بالتالي,

${\displaystyle CB={\frac {d(-DB)}{dr}}=(-D)(-DB)+\left(-{\frac {dD}{dr}}\right)(B)}$

إذاً:

${\displaystyle C=D^{2}-{\frac {dD}{dr}}}$

حيث D هي مدة معدلة.

كيف تتغير مدة السند مع تغير سعر الفائدة؟

بالعودة إلى التعريف القياسي للمدة المعدلة:

${\displaystyle D={\frac {1}{1+r}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {P(i)t(i)}{B}}}$

حيث P (i) هي القيمة الحالية للقسيمة i و t (i) هو تاريخ الدفع المستقبلي.

مع زيادة سعر الفائدة ، تنخفض القيمة الحالية للمدفوعات الأطول أجلاً فيما يتعلق بالقسائم السابقة (بواسطة عامل الخصم بين المدفوعات المبكرة والمتأخرة). ومع ذلك ، ينخفض سعر السند أيضًا عند زيادة سعر الفائدة ، ولكن التغييرات في القيمة الحالية لمجموع كل القسائم مضروبة في التوقيت (البسط في التجميع) تكون أكبر من التغييرات في سعر السند (المقام في التجميع). لذلك ، يجب أن تقلل الزيادات في r المدة (أو في حالة سندات القسيمة الصفرية ، اترك المدة غير المعدلة ثابتة). لاحظ أن المدة المعدلة D تختلف عن المدة العادية بالعامل الأول فوق 1 + r (كما هو موضح أعلاه) ، والذي يتناقص أيضًا مع زيادة r.

${\displaystyle {\frac {dD}{dr}}\leq 0}$

بالنظر إلى العلاقة بين التحدب والمدة أعلاه ، يجب أن تكون التحدبات السندات التقليدية إيجابية دائمًا.

يمكن أيضًا إثبات إيجابية التحدب بشكل تحليلي بالنسبة لسندات أسعار الفائدة الأساسية. على سبيل المثال ، في ظل افتراض منحنى عائد ثابت ، يمكن للمرء أن يكتب قيمة السند الحامل للقسيمة على النحو التالي${\displaystyle \scriptstyle B(r)\ =\ \sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}}$، حيث ci تعني القسيمة المدفوعة في الوقت t (i) .

ومن السهل أن نرى:

${\displaystyle {\frac {d^{2}B}{dr^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}t_{i}^{2}\geq 0}$

لاحظ أن هذا على العكس يدل على سلبية مشتق المدة عن طريق التفريق ${\displaystyle dB/dr\ =\ -DB}$ .