تثليث مساحي

من الممكن الحصول على الاستنتاج الرياضي للتثليث المساحي لمسألة بأخذ صيغ ثلاث كرات وحلها حلاً مشتركاً. من أجل القيام بذلك يجب تطبيق ثلاث قيود على المراكز وهي: المراكز الثلاث يجب أن تكون في المستوي z=0، واحد من المراكز أن يكون في مركز الإحداثيات، وآخر أن يكون على محور السينات x. ولكن من الممكن نقل أي مجموعة من ثلاث نقاط لتحقيق الشروط السابقة، إيجاد الحل ومن ثم النقل المعاكس لإيجاد الحل النهائي في نظام الإحداثيات الأصلي.

بالبدء بمعادلات الكرات الثلاث:

${\displaystyle r_{1}^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$,

${\displaystyle r_{2}^{2}=(x-d)^{2}+y^{2}+z^{2},}$

و

${\displaystyle r_{3}^{2}=(x-i)^{2}+(y-j)^{2}+z^{2}}$,

بتبديل المعادلة الثانية في الأولى والحل بالنسبة للمتحول x نجد:

${\displaystyle x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}}{2d}}}$.

وبتبديل هذه ثانية في معادلة الكرة الأولى ينتج لدينا معادلة دائرة، وهي دائرة تقاطع الكرتين الأولى والثانية:

${\displaystyle y^{2}+z^{2}=r_{1}^{2}-{\frac {(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2})^{2}}{4d^{2}}}}$.

وبحل هذه المعادلة مع معادلة الكرة الثالثة نجد:

${\displaystyle y={\frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}-x^{2}+(x-i)^{2}+j^{2}}{2j}}={\frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}+i^{2}+j^{2}}{2j}}-{\frac {i}{j}}x}$.

الآن ينتج لدينا الإحداثيات x وy للنقطة المطلوبة، نرتب الحدود ونبدل في معادلة الكرة الأولى فنجد الإحداثيات z:

${\displaystyle z={\sqrt {r_{1}^{2}-x^{2}-y^{2}}}}$

حيث تؤخذ الجذور الموجبة لهذه القيمة من أجل حل ممكن التمثيل في الفضاء الحقيقي.

يستخدم التثليث المساحي في تحديد مكان نزول الصواعق، وهي عملية مفيدة جداً خاصة للوقاية من الحرائق في الغابات.

كما يستخدم في أنظمة تحديد المواقع GPS، لكن تستخدم الكرات بدلاً من الدوائر، ويطبق عليها معادلات رياضية معقدة تدخل فيها النسبية العامة والخاصة.

• تثليث
• تثليث السطح
• مسح اجتيازي

• بوابة رياضيات
• بوابة هندسة رياضية