انحراف مجموع مقلوبات الأعداد الأولية

مجموع مقلوبات الأعداد الأولية هو متسلسلة متباعدة حيث أن:

\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots =\infty .

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوقة. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (فبراير 2016)

كان ليونارد أويلر قد برهن على ذلك في 1737، كما أنها تعزيز لمبرهنة إقليدس في القرن الثالث الميلادي التي تنص على أن هناك عدد لا منته من الأعداد الأولية.

يوجد العديد من البراهين على نتيجة أويلر بما فيها الحد الأدنى للمجاميع الجزئية الذي ينص على:

\sum _{\scriptstyle p{\text{ prime }} \atop \scriptstyle p\leq n}{\frac {1}{p}}\geq \ln \ln(n+1)-\ln {\frac {\pi ^{2}}{6}}

لجميع الأعداد الطبيعية n.

صيغة مبسطة للبرهان أعلاه

{\begin{aligned}&{}\quad \ln \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\right)=\ln \left(\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}\right)=\sum _{p}\ln \left({\frac {p}{p-1}}\right)=\sum _{p}\ln \left(1+{\frac {1}{p-1}}\right)\end{aligned}}

وبما أنه

e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,

فإن e^x > 1 + x و (x > ln(1 + x. وهكذا :

\sum _{p}\ln \left(1+{\frac {1}{p-1}}\right)<\sum _{p}{\frac {1}{p-1}}

ومنه فإن $\sum _{p}{\frac {1}{p-1}}$ متباعد. ولكن ${\frac {1}{p_{i}-1}}<{\frac {1}{p_{i-1}}}$

حيث p_i هو العدد الأولي من الرتبة i. وبالتالي $\sum _{p}{\frac {1}{p}}$ متسلسلة متباعدة.

انظر أيضا

وصلات خارجية

بوابة رياضيات
بوابة تحليل رياضي

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.