أوكتونيون

هناك طريقة أكثر منطقية في تعريف الأوكتونيون باستخدام إنشاء كايلي-ديكسون. حيث كما أنه من الممكن تعريف الكواتيرنيون على أنها زوج من الأعداد العقدية، يمكن تعريف الأوكتونيون على أنها زوج من الكواتيرنيون. حيث يعطى جداء زوجين من الكواتيرنيون (a, b) و(c, d) على النحو التالي:

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})}$

حيث ${\displaystyle z^{*}}$ هو نظير الكواتيرنيون z.

يعطى نظير الأوكتونيون التالية

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}$

بالعلاقة:

${\displaystyle x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl.}$

يعرف الجزء الحقيقي للأوكتونيون x بالعلاقة:

½x + x^*) = x₀)

كما يعرف الجزء التخيلي بالعلاقة:

½(x - x^*)

تعطى طويلة الأوكتونيون x بالعلاقة:

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}}$

يعطى الجذر التربيعي هنا بالعلاقة: ${\displaystyle x^{*}x=xx^{*}}$ وهو دائماً عدد حقيقي غير سالب:

${\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}}$

وهذه الطويلة تتوافق مع الطويلة في الفضاء الإقليدي من البعد الثامن R⁸.

إن وجود طويلة للأوكتونيون يتطلب وجود مقلوب لكل أوكتونيون غير صفري. حيث يعطى مقلوب x ≠ 0 بالعلاقة:

${\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}}$

وهي تحقق

${\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1}$.