أمثلة متعددة الأهداف

مشكلة الأمثلة متعددة الأهداف هي مشكلة تحسين الأمثلة التي تحتوي على دوال متعددة الاهداف. يمكن صياغة مشكلة الأمثلة متعددة الأهداف في مصطلحات رياضية، كما الأتي :

${\displaystyle {\begin{aligned}\min &\left(f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{k}(x)\right)\\{\text{s.t. }}&x\in X,\end{aligned}}}$

حيث أن ${\displaystyle k\geq 2}$ عدد صحيح هو عدد الأهداف و ${\displaystyle X}$ تمثل متجه متغيرات القرار. وعادة ما يتم تعريف مجموعة من دوال القيود المفروضة علي المشكلة . وبالإضافة إلى ذلك، غالبا ما يتم تعريف قيم المتجه لدالة الهدف قيم المتجه كما الأتي:

${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{k},\ f(x)=(f_{1}(x),\ldots ,f_{k}(x))^{T}}$.

وإذا كان هدفنا أن دالة الهدف تكون أقصى حد ممكن، وهو ما يعادل سالب أقل حد ممكن لدالة الهدف . و يصبح المتغير ${\displaystyle X}$ يكتب علي النحو التالي ${\displaystyle Y\in \mathbb {R} ^{k}}$ ويسمي${\displaystyle x^{*}\in X}$ حلا عمليا أو قرار ممكنا , و يسمي متجه ${\displaystyle z^{*}:=f(x^{*})\in \mathbb {R} ^{k}}$ لحلا ممكنا ${\displaystyle x^{*}\in X}$ متجه موضوعي . غالبا في الأمثلة متعددة الأهداف، ليس هناك وجود لحلا ممكنا حيث يمكنه أن يقلل من جميع وظائف موضوعية في وقت واحد. لذلك، وجدت الحلول باريتو المثلي. وهذه الحلول التي لا يمكن تحسينها في أي من الأهداف دون المهينة على الأقل واحد من الأهداف الأخرى. في المصطلحات الرياضية، الحل الممكن ${\displaystyle x^{1}\in X}$ يسمي الحل الآخر ل (باريتو) السائد ${\displaystyle x^{2}\in X}$ ، إذا

${\displaystyle f_{i}(x^{1})\leq f_{i}(x^{2})}$ لكل من ${\displaystyle i\in \left\{{1,2,\dots ,k}\right\}}$ و

${\displaystyle f_{j}(x^{1})<f_{j}(x^{2})}$ لواحد على الأقل من ${\displaystyle j\in \left\{{1,2,\dots ,k}\right\}}$.

والحل ${\displaystyle x^{1}\in X}$ (الناتج عن ${\displaystyle f(x^{*})}$) يسمى باريتو الأمثل، إذا كان لا يوجد حل آخر الذي يهيمن عليه. وغالبا ما يطلق على مجموعة من النتائج المثلى باريتو في الجبهة باريتو أو باريتو الحدود. الجبهة باريتو من مشكلة الأمثلة متعددة الاهداف محددة من قبل ما يسمى متجه موضوعي نادر ${\displaystyle z^{nad}}$ و متجه موضوعي المثالي ${\displaystyle z^{ideal}}$ ، إذا كانت هذه هي محدود. ويعرف المتجهان كما الأتي :

${\displaystyle z_{i}^{nad}=\sup _{x\in X{\text{ is Pareto optimal}}}f_{i}(x){\text{ for all }}i=1,\ldots ,k}$

${\displaystyle z_{i}^{ideal}=\inf _{x\in X}{f_{i}(x)}{\text{ for all }}i=1,\ldots ,k.}$

وبعبارة أخرى، فإن المتجهان يحددان الحدود العليا والسفلي لقيم دالة الهدف من الحلول المثلى لباريتو، على التوالي. في الممارسة العملية، يمكن أن يقرب متجه موضوعي نادر فقط الي كل المجموعة المثلي لباريتوالتي تكون غير معروفة . وبالإضافة إلى ذلك، متجه موضوعي الطوباوي ${\displaystyle z^{utopian}}$

${\displaystyle z_{i}^{utopian}=z_{i}^{ideal}-\epsilon {\text{ for all }}i=1,\ldots ,k,}$

حيث ${\displaystyle \epsilon >0}$ هو ثابت صغير، وغالبا ما يتم تعريفها لأسباب عددية.

• بوابة رياضيات