نظام متغير الكتلة

عند اللحظة الأولى كلتة dm  لها سرعة نسبية u على وشك الالتحام مع الجسم الذي كلتله m وله سرعة v. اللحظة 2 كلا الجسمين يتحركان بسرعة v+dv بعد زمن dt.

الاستنتاج القادم هو لنظام تزداد كتلته. نفرض ان هناك جسم له كتلة متغيرة m تتحرك بسرعة v عند زمن ابتدائي t. عند هذه اللحظة نفرض ان هناك جسيم كتلته dm يتحرك بسرعة u. كمية الحركة الابتدائية يمكن التعبير عنها بالصورة التاليه:[5]

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {1} }=m\mathbf {v} +\mathbf {u} \mathrm {d} m}$

والآن عند زمن يساوى t+dt، نفرض ان الجسم الرئيسي والجسيم الملتحم به يتحركون بسرعة v+dv. لذلك معادلة كمية الحركة الجديدة ستكون:

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {2} }=(m+\mathrm {d} m)(\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} )=m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathrm {d} m+\mathrm {d} m\mathrm {d} \mathbf {v} }$

بما أن dmdv هو حاصل ضرب قيمتين صغيرتين، فيمكننا إهماله. لذلك خلال فترة زمنية dt فإن كمية الحركة للنظام تكون:

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} =\mathbf {p} _{\mathrm {2} }-\mathbf {p} _{\mathrm {1} }=(m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathrm {d} m)-(m\mathbf {v} +\mathbf {u} \mathrm {d} m)=m\mathrm {d} \mathbf {v} -(\mathbf {u} -\mathbf {v} )\mathrm {d} m}$

ومن ثم، من قانون نيوتن الثاني:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {m\mathrm {d} \mathbf {v} -(\mathbf {u} -\mathbf {v} )\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}-(\mathbf {u} -\mathbf {v} ){\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}$

لاحظ ان u-v هي سرعة dm بالنسبة إلى m ويمكن التعبير عنها بـ vrel. يمكن كتابة المعادلة كالآتي:[6]

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}}$

في الأنظمة التي تخرج من الكتلة أو يتم إزالتها فإن الإستنتاج يكون مختلف قليلا. عند زمن t، نفرض ان هناك كتلة m تتحرك بسرعة v ولذلك فإن كمية الحركة الابتدائية للنظام تكون:

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {1} }=m\mathbf {v} }$

وبما أن النظام يفقد كتلة مقدارها dm فإنها تكون سالبة بمعنى أنه بعد زمن t+dt تكون كمية الحركة:

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {2} }=(m+\mathrm {d} m)(\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} )+\mathbf {u} (-\mathrm {d} m)=m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathrm {d} m+\mathrm {d} m\mathrm {d} \mathbf {v} -\mathbf {u} \mathrm {d} m}$

حيث u هي سرعة الكتلة المطرودة. لذلك كمية الحركة ستكون:

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} =\mathbf {p} _{\mathrm {2} }-\mathbf {p} _{\mathrm {1} }=(m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathrm {d} m-\mathbf {u} \mathrm {d} m)-(m\mathbf {v} )=m\mathrm {d} \mathbf {v} -(\mathbf {u} -\mathbf {v} )\mathrm {d} m}$

وهذه هي نفس معادلة dp في حالة إضافة كتلة.

معدلات كتلة صاروخ مقابل السرعة النهائية محسوبة من معادلة الصاروخ

يمكن استخدام معادلة الصاروخ المثالي للمركبات التي لها نفس سلوكه (تحرك نفسها ع طريق تخليها عن جزأ من كتلتها، مادة دافعة وبسرعة عالية). يمكن اشتقاقها من معادلة الحركة للأنظمة متغيرة السرعة كما يلي: عندما لا تؤثر قوة خارجية (Fext = 0) على الجسم فإن معادلة الحركة تكون:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}}$

إذا كانت سرعة المادة الدافعة vrel تتحرك في اتجاه عكسي لحركة الصاروخ dv/dt فإن الكمية القياسية لهذه المعادلة تكون:

${\displaystyle -v_{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} v \over \mathrm {d} t}}$

${\displaystyle -v_{\mathrm {rel} }\mathrm {d} m=m\mathrm {d} v\,}$

يتم التكامل عن طريق فصل المتغيرات:

${\displaystyle -v_{\mathrm {rel} }\int _{m_{0}}^{m_{1}}{\frac {\mathrm {d} m}{m}}=\int _{v_{0}}^{v_{1}}\mathrm {d} v}$

${\displaystyle v_{\mathrm {rel} }\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}=v_{1}-v_{0}}$

بإعادة ترتيب المعادلة  Δv = v1 - v0  فإننا نصل للمعادلة النهائية للصاروخ:

${\displaystyle \Delta v=v_{\mathrm {rel} }\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}$

حيث: 

m0 هي الكتلة الابتدائية الكلية وتشمل المادة الدافعة.

m1 هي الكتلة الكلية النهائية.

vrel هي سرعة الخروج الفعالة.

Δv هو التغير الأقصى لسرعة المركبة عندما لا تؤثر قوة خارجية عليها.