مبرهنة ميلر

تُثبت مبرهنة ميلر أنه في الدوائر الخطية إذا كان هناك فرع لديه المقاومة Z يربط بين عقدتين الجهد بينهما ¬V₁ وV₂ فيمكن استبدال هذا الفرع بآخرين يوصلان العقد المتوافقة بالأرض بمقاومات Z/(1 − K) وKZ/(K − 1) على التوالي، حيثK = V₂/V₁. ويمكن إثبات مبرهنة ميلر باستخدام تقنية الشبكة ذات المنفذين المكافئين لاستبدال المنفذين بمكافئ لهما وتطبيق مبرهنة امتصاص المصدر [3] وتعتمد هذه النسخة من المبرهنة على قانون كيرشوف للجهد الكهربائي ولهذا السبب سُميت أيضًا باسم مبرهنة ميلر للجهود الكهربائية.

تقتضي مبرهنة ميلر أن العنصر المُقاوِم يتم تزويده بمصدرين عشوائيين للجهد (ليسا بالضرورة تابعَين) متصلين بسلسلةٍ خلال أرض عادية. وبالتطبيق العملي، يؤدي أحد المصدرين دور المصدر الرئيسي للجهد (المستقل) بالجهد V₁ ويؤدي الآخر دور مصدر جهد إضافي (تابِع خطيًا) بالجهد ${\displaystyle V_{2}=K{V_{1}}}$. تتضح بالأسفل فكرة مبرهنة ميلر (تعديل مقاومات الدوائر الكهربية عن طريق مصادر إدخال وإخراج) عن طريق مقارنة الحالتين، في حالة توصيل وحالة عدم توصيل مصدر جهد إضافي V₂.

إذا كانت قيمة V₂ هي صفر (في حالة عدم وجود مصدر جهد ثانٍ أو تأريض الطرف الأيمن للعنصر الذي مقاومته Z)، يكون تدفق تيار الإدخال عبر العنصر مُصممًا طبقًا لقانون أوم، فقط بقيمة V₁

${\displaystyle I_{in0}={\frac {V_{1}}{Z}}}$

وتكون مقاومة الإدخال للدائرة الكهربائية

${\displaystyle Z_{in0}={\frac {V_{1}}{I_{in0}}}=Z.}$

وعندما يتم توصيل مصدر جهد ثانٍ يعتمد تيار الإدخال على كلٍ من الجهدين. وطبقًا لقطبيتها، يتم طرح V₂ من V₁ أو تُضاف إليها، ونتيجة لذلك ينخفض/يزداد تيار الإدخال.

${\displaystyle I_{in}={\frac {V_{1}-V_{2}}{Z}}={\frac {(1-K)}{Z}}{V_{1}}={(1-K)}{I_{in0}}}$

وتبعًا لذلك، تزداد/تنخفض مقاومة إدخال الدائرة من ناحية مصدر الإدخال.

${\displaystyle Z_{in}={\frac {V_{1}}{I_{in}}}={\frac {Z}{1-K}}.}$

وبهذا تعبر مبرهنة ميلر عن حقيقة أن توصيل مصدر جهد ثانٍ ذي جهد متناسب ${\displaystyle V_{2}=K{V_{1}}}$ في سلسلة مع مصدر جهد الإدخال يعمل على تغيير الجهد الفعال والتيار وتبعًا لذلك مقاومة الدائرة من ناحية مصدر الإدخال. وبناءً على القطبية، يعمل V₂ كمصدر الجهد الإضافي الذي يساعد مصدر الجهد الرئيسي أو يتعارض معه لتمرير التيار عبر المقاومة.