قوانين دي مورغان

تستخدم قوانين دي مورجان في قواعد المنطق في وصف نتيجة عكس عمليتي الضرب المنطقي(و) and و الجمع المنطقي(أو) or

NOT (P OR Q) = (NOT P) AND (NOT Q)

NOT (P AND Q) = (NOT P) OR (NOT Q)

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوقة. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (ديسمبر 2018)

و عن طريق الإشارات

\neg (p\vee q)\iff (\neg p)\wedge (\neg q)

\neg (p\wedge q)\iff (\neg p)\vee (\neg q)

حيث أن:

$\neg$ علامة تعبر عن النفي المنطقي(لا)(NOT)
$\wedge$ علامة تعبر عن الضرب المنطقي (و)(AND)
$\vee$ علامة تعبر عن الجمع المنطقي(أو)(OR)
$\iff$ علامةfiuoio متساويان منطقيا (إذا و فقط إذا)

وفي قوانيين الجبر البولييني

The intersection of A and B

الاتحاد و التقاطع يتبدلان تحت النفي.

{\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}

{\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}.

حيث أن:

${\overline {A}}$ هي عكس A
$\cap$ تعبير يدل علي التقاطع(AND)
$\cup$ تعبير يدل علي الاتحاد(OR)

الإثبات الرياضي لنظرية دي مورجان

${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ إذا وفقط إذا ${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ و ${\overline {A\cap B}}\supseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ .

$x\in {\overline {A\cap B}}$

$x\notin {A\cap B}$

$x\notin A$ أو $x\notin B$

$x\in {\overline {A}}$ أو $x\in {\overline {B}}$

$x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

لذلك ${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

$x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

$x\in {\overline {A}}$ أو $x\in {\overline {B}}$

$x\notin A$ أو $x\notin B$

$x\notin {A\cap B}$

$x\in {\overline {A\cap B}}$

لذلك ${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

${\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ و ${\overline {A\cap B}}\supseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ لذلك ${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}$ يمكن إثباتها بنفس الطريقة.

مراجع

بوابة رياضيات
بوابة منطق

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.