طول التشتت

عندما يتشتت جسيم بسرعة بطيئة على جسيم ذو مقاييس صغيرة (مثل حبيبة شوائب في مادة أو جسيم ثقيل ) فلا يستطيع "رؤية" البناء الفصيلي للجسيم الثقيل حيث أن طول موجة ديبرولي المقارنة بالجسيم الأولي تكون طويلة جدا و ليس من المهم التعرف على شكل جهد (V(r للجسيم الثقيل الذي على مستواه يحدث تشتت الجسيمات الأولية و الطريقة المثلة لحل تلك المسألة الحركية هي إجراء ( تحليل ) أو توليد تفسيرات مؤولة للموجات الجزئية طبقا للطريقة الكهرومغناطيسية الكلاسيكية حيث يحلل العزم الزاوي إلى محصلات متجهات الموجة الناتجة . وعند الطاقات المنخفضة للجسيمات الأولية الساقطة فإنها لا "ترى " تفاصيل بناء الجسيم الثقيل ويحدث تشتتا في صورة لموجة خارجة كروية متناظرة spherical symmetric ، وهذه تسمى موجة s للتشتت ، وهي تتميز بأن عزمها الزاوي ${\displaystyle l=0}$ . هذا معناه أنه عندما تكون سرعة الجسيمات بطيئة تتشتت الجسيمات بالتساوي في جميع الاتجاهات حول نواة الاصطدام ، وتلك هي صفة الموجة s للتشتت .

وعند زيادة طاقة الجسيمات الساقطة فيجب أخذ الموجات p و d في الحسبان (${\displaystyle l=1,2}$) في عملية التشتت . فالموجات p و d تضيف على الموجة s الكروية موجات غير كروية حيث يكون توزيع الجسيمات بعد التشتت غير متساو في جميع الإتجاهات حول النواة .

الغرض الأسمى من وصف التشتت عند الطاقات المنخفضة بواسطة إحداثيات بسيطة وتناظرية هو حساب المعادلات في حالة العزم الزاوي كما هو ظاهر أسفله :

${\displaystyle l=0}$.

من أجل حساب الموجة s (أي للعزم الزاوي ${\displaystyle l=0}$) لجهد تآثر معين سنعتبر جهد تنافر كروي في شكل بئر جهدي عمقه لا نهائي ذو نصف قطر ${\displaystyle r_{0}}$ . ويمكن صياغة معادلة شرودنجر التي تصف جسيم حر خارج البئر ، (${\displaystyle l=0}$) :

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}u''(r)=Eu(r),}$

حيث يتطلب شرط جهد التصادم الحاد أن تختفي الدالة الموجية ${\displaystyle u(r)}$ عند ${\displaystyle r=r_{0}}$ و ${\displaystyle u(r_{0})=0}$.

وحل تلك المسألة :

${\displaystyle u(r)=A\sin(kr+\delta _{s})}$.

حيث :

${\displaystyle k={\sqrt {2mE}}/\hbar }$;

${\displaystyle \delta _{s}=-k\cdot r_{0}}$ الموجة s لانزياح الطور (أي فارق الطور بين الموجة الساقطة والموجة الخارجة بعد الاصتدام ) وهي محددة بالشرط :

${\displaystyle u(r_{0})=0}$ عند ${\displaystyle A}$ كثابت مناسب لتوحيد قيم الموجات .

ويمكننا إثبات أن:

${\displaystyle \delta _{s}(k)\approx -k\cdot a_{s}+O(k^{2})}$

عندما تكون ${\displaystyle k}$ صغيرة (أي عندما تكون طاقة الجسيم منخفضة ) . ويسمى الطول ${\displaystyle a_{s}}$ طول التشتت .

وبالنسبة للجهد الذي اخترناه يكون ${\displaystyle a=r_{0}}$ ، أي أن طول التشتت في حالة التشتت على كرة مصمته مساويا لنصف قطرها .

ومن جهة أخرى فيمكن القول أن أي جهد اختياري يتميز بموجة s لطول التشتت ${\displaystyle a_{s}}$ يكون له نفس خواص التشتت عند الطاقات المنخفضة مثلما يحدث في حالة كرة صلبة مصمته ذات نصف قطر ${\displaystyle a_{s}}$).

وبغرض المقارنة بين طول التشتت المحسوب وبين المشاهدة التي يمكن قياسها في تجربة تشتت نحتاج إلى حساب مقطع التصادم ${\displaystyle \sigma }$.

ونكتب في نظرية التشتت الدالة الموجية النهائية (باعتبار وجود جسيم ثقيل كروي ذو مقاييس محددة تسقط علية موجة مستوية على المحور ${\displaystyle z}$).

${\displaystyle \psi (r,\theta )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}}$

حيث :

${\displaystyle f}$ مطال التشتت.

وطبقا للتفسير الاحتمالي لميكانيكا الكم يعطى مقطع التصادم التفاضلي بالمعادلة :

${\displaystyle d\sigma /d\Omega =|f(\theta )|^{2}}$

وهي تعطي احتمال التشتت في الاتجاه${\displaystyle \mathbf {k} }$). في وحدة الزمن . فغذا اعتبرنا الموجة s وحدها للتشتت فلن يعتمد مقطع التشتت التفاضلي على الزاوية ${\displaystyle \theta }$, ويبلغ المقطع الكلي للتشتت :

${\displaystyle \sigma =4\pi |f|^{2}}$.

وجزء الموجة s للدالة الموجية ${\displaystyle \psi (r,\theta )}$ سيمكن تمثيلها باستخدام تحليل الموجة المستوية عاديا بصيغة موجة كرية و ليجندر بولونوميال ${\displaystyle P_{l}(\cos \theta )}$.

${\displaystyle e^{ikz}\approx {\frac {1}{2ikr}}\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)P_{l}(\cos \theta )\left[(-1)^{l+1}e^{-ikr}+e^{ikr}\right]}$

ومع معادلة متجه ${\displaystyle l=0}$ لمقطع التصادم ${\displaystyle \psi (r,\theta )}$ ومساواتها بحل الموجة s نحصل على:

${\displaystyle \psi (r)=A\sin(kr+\delta _{s})/r}$

حيث نقوم بتوحيد قيمة ${\displaystyle A}$ بحيث أن تكون الموجة الساقطة ${\displaystyle e^{ikz}}$ قيمتها واحد) one has، فنحصل على:

${\displaystyle f={\frac {1}{2ik}}(e^{2i\delta _{s}}-1)\approx \delta _{s}/k\approx -a_{s}}$

وهذا يعطي :

${\displaystyle \sigma ={\frac {4\pi }{k^{2}}}\sin ^{2}\delta _{s}=4\pi a_{s}^{2}}$

• مقطع تصادم (فيزياء)
• مطال تشتت
• امتصاص (إشعاع كهرومغناطيسي)
• مقطع نووي
• حافة كومبتون
• تأثير كومبتون
• نفاذية (علم البصريات)
• توهين
• أشعة سينية عالية الطاقة
• طيف امتصاص
• حيود
• جهد يوكاوا

• بوابة الفيزياء
• بوابة ميكانيكا الكم