خواص جذور متعددة حدود

من أهم القيود العامة على قيمة الجذور تلك التي تقتضيها نظرية راوتش. إذا وجد عدد حقيقي موجب R ومعامل k بحيث

${\displaystyle |a_{k}|\,R^{k}>|a_{0}|+\cdots +|a_{k-1}|\,R^{k-1}+|a_{k+1}|\,R^{k+1}+\cdots +|a_{n}|\,R^{n}}$

فإنه يوجد تماما k جذرا (مستمرا بالتعددية) بقيمة مطلقة أقل من R. من أجل k=0,n يكون هناك دائما حلا لهذه المتباينة، مثلا

• لإجل k=n,

${\displaystyle R=1+{\frac {1}{|a_{n}|}}\max\{|a_{0}|,|a_{1}|,\dots ,|a_{n-1}|\}}$ or

${\displaystyle R=\max \left(1,\,{\frac {1}{|a_{n}|}}\left(|a_{0}|+|a_{1}|+\cdots +|a_{n-1}|\right)\right)}$

هي القيود العليا لمقدار جميع الجذور,

• for k=0,

${\displaystyle R={\frac {|a_{0}|}{|a_{0}|+\max\{|a_{1}|,|a_{2}|,\dots ,|a_{n}|\}}}}$ or

${\displaystyle R={\frac {|a_{0}|}{\max(|a_{0}|,\,|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|)}}}$

هي القيود الدنيا لمقدار جميع الجذور,

• لجميع باقي المعاملات, تكون الدالة

${\displaystyle h(R)=|a_{0}|\,R^{-k}+\cdots +|a_{k-1}|\,R^{-1}-|a_{k}|+|a_{k+1}|\,R+\cdots +|a_{n}|\,R^{n-k}}$

محدبة على الأعداد الحقيقة الموجبة, وبالتالي فإن نقطة التصغير سهلة التحقق عدديا. إذا كانت القيمة الدنيا سالبة, فقد أمكن الحصول على معلومات إضافية حول مواقع الجذور.

يمكن زيادة الفصل بين الجذور وبالتالي يمكن إيجاد دوائر فاصلة إضافية من المعاملات، بتطبيق عملية تربيع جذور معاودة داندلين-غريف على كثيرة الحدود.

هناك طريقة أخرى باستعمال نظرية الدوائر لجرشغورين المطبق على بعض المصفوفة المرافقة لكثيرة الحدود، كما هو الحال في Durand-طريقة كرنر.