توزيع احتمالي لیفي

دالة كثافة الاحتمال لتوزيع لیفي عبر المجال ${\displaystyle x\geq \mu }$ يكون[3]

${\displaystyle f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~~{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}}}$

أين ${\displaystyle \mu }$ هي معلمة الموقع و ${\displaystyle c}$ هي معلمة المقياس. دالة التوزيع التراكمي هي

${\displaystyle F(x;\mu ,c)={\textrm {erfc}}\left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)}$

أين ${\displaystyle {\textrm {erfc}}(z)}$ هي دالة الخطأ التكميلية. معلمة التحول ${\displaystyle \mu }$ له تأثير تحريك المنحنى إلى اليمين بمقدار ${\displaystyle \mu }$ ، وتغيير الدعم إلى الفاصل الزمني [ ${\displaystyle \mu }$ ،${\displaystyle \infty }$). مثل جميع التوزيعات المستقرة ، فإن توزيع Levy له شكل قياسي f (x؛ 0،1) له الخاصية التالية:[4]

${\displaystyle f(x;\mu ,c)dx=f(y;0,1)dy\,}$

حيث يتم تعريف y على أنه

${\displaystyle y={\frac {x-\mu }{c}}\,}$

يتم إعطاء الوظيفة المميزة لتوزيع لیفي بواسطة

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}.}$

لاحظ أنه يمكن أيضًا كتابة الوظيفة المميزة بنفس الشكل المستخدم للتوزيع المستقر مع ${\displaystyle \alpha =1/2}$ و ${\displaystyle \beta =1}$:

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}~(1-i~{\textrm {sign}}(t))}.}$

على افتراض ${\displaystyle \mu =0}$، يتم تحديد اللحظة n لتوزيع لیفي غير المحول رسميًا بواسطة:[5]

${\displaystyle m_{n}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x}\,x^{n}}{x^{3/2}}}\,dx}$

التي تختلف عن الجميع ${\displaystyle n\geq 0.5}$ بحيث لا توجد اللحظات الصحيحة لتوزيع لیفي (فقط بعض اللحظات الكسرية).

سيتم تحديد وظيفة توليد اللحظة رسمياً من خلال:

${\displaystyle M(t;c)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}}\,dx}$

لكن هذا يختلف عن ${\displaystyle t>0}$ وبالتالي لا يتم تعريفه على فاصل زمني حول الصفر ، لذلك لم يتم تحديد وظيفة توليد اللحظة في حد ذاته.

مثل جميع التوزيعات المستقرة باستثناء التوزيع الطبيعي ، يظهر جناح دالة كثافة الاحتمال سلوكًا ذيلًا ثقيلًا يسقط وفقًا لقانون الطاقة:

${\displaystyle f(x;\mu ,c)\sim {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}{\frac {1}{x^{3/2}}}}$  مثل  ${\displaystyle x\to \infty ,}$

مما يدل على أن ليفي ليس فقط ذو الطرف الثقيل ولكنه أيضًا ذو الذيل . هذا موضح في الرسم البياني أدناه، حيث تعمل كثافة الاحتمال لقيم مختلفة من c و ${\displaystyle \mu =0}$ يتم رسمها على قطعة أرض. يفي توزيع لیفي القياسي بشرط الاستقرار:

${\displaystyle (X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n})\sim n^{1/\alpha }X}$

حيث ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsb ,X_{n},X}$ متغيرات لیفي مستقلة مع ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$.

توزيع احتمالي لیفي في المشاريع الشقيقة

---

• صور وملفات صوتية من كومنز

• بوابة إحصاء
• بوابة رياضيات