تحويل ليجاندر

الغرض من تحويل ليجاندر هو تغيير اعتماد دالة ${\displaystyle f(x)}$ على المتغير ${\displaystyle x}$ إلى اعتمادها على متغير آخر ${\displaystyle u}$ حيث :

${\displaystyle u={\frac {\partial f}{\partial x}}}$

فعندما نصيغ الدالة ${\displaystyle f(x)}$ المعتمدة على ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x}}\,\mathrm {d} x=u\,\mathrm {d} x}$,

يصبح الدالة ${\displaystyle g(u)}$ أيضا معتمدة على المتغير ${\displaystyle u}$ .

${\displaystyle \mathrm {d} g=\pm x\,\mathrm {d} u}$

وعندما نقوم بمعلية التفاضل الكلي ل ${\displaystyle (\pm ux)}$ نحصل على:

${\displaystyle \mathrm {d} (\pm ux)=\pm (x\,\mathrm {d} u+u\,\mathrm {d} x)}$.

وبالمقارنة ب ${\displaystyle \mathrm {d} f}$ و ${\displaystyle \mathrm {d} g}$

نحصل على :

${\displaystyle \mathrm {d} (\pm ux)=\mathrm {d} g\pm u\,\mathrm {d} x=\mathrm {d} g\pm \mathrm {d} f}$.

أي أن :

${\displaystyle \mathrm {d} g=\mathrm {d} (\mp f\pm ux)}$,

وبعد إجراء التكامل نحصل على:

${\displaystyle g(u)=\pm (-f(x(u))+ux(u))}$.

وتسمى الدالة ${\displaystyle g(u)}$ دالة ليجاندر المحولة من الدالة ${\displaystyle f}$ . ولا أهمية لإشارة الدالة ${\displaystyle g}$

لذلك يمكننا كتابة

${\displaystyle g=ux-f}$ oder ${\displaystyle g=f-ux}$

ويعتمد اختيار الإشارة على المعني الفيزيائي للدالة ${\displaystyle g}$ .

سنوضح تحويل ليجاندر بواسطة الرسم المرسوم أعلاه : يمكن رسم المنحنى الأحمر عن طريق استبدال كل نقاطه بتحويلات ليجاندر التي تعطينا عددا كبيرا من المماسات التي تحيط وتمس المنحنى الأحمر. وهذا ما تقوم به تحيلات ليجاندر . فالدالة الناتجة ${\displaystyle g(u)}$ ترتب ميل الممسات ${\displaystyle u}$ لكل نقطة بحسب تقاطع خط التماس مع المحور Y . إذاّ فتلك الممسات تصف المنحني وصفا كاملا - ولكن باستخدام إحداثية أخرى، وهي ${\displaystyle u}$ بدلا من ${\displaystyle x}$.

يتغير اعتماد دالة ${\displaystyle f(x,y)}$ تعتمد على المتغير ${\displaystyle x}$ إلى متغير آخر ${\displaystyle u}$ عن طريق التفاضل الجزئي للدالة ${\displaystyle f}$ بالنسبة إلى ${\displaystyle x}$ كالآتي:

${\displaystyle u={\frac {\partial f}{\partial x}}}$.

ويمثل فيها ${\displaystyle u(x,y)}$ الميل الهندسي في الاتجاه x من الدالة ${\displaystyle f(x,y)}$ .

ذلك نتحدث عن تحويل ليجاندر بأنه "تحويل مماسات " . وتسمى الدالة ${\displaystyle F(u,y)}$

"دالة ليجراند المحولة" .

ويمكننا استنباط دالة ليجراند المحولة كالآتي: يمكن كتابة الدالة ${\displaystyle f(x,y)}$ على الصورة :

${\displaystyle f(x,y)\approx f(x_{0},y)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\Delta x,\;\Delta x=x-x_{0}}$

وإذا عرّفنا ${\displaystyle f(x_{0},y)\equiv F(u,y)}$, حصلنا على دالة ليجراند المحولة :

${\displaystyle F(u,y)=f(x,y)-{\frac {\partial f}{\partial x}}\Delta x}$.

في أغلب أحوال توضع ${\displaystyle x_{0}=0}$ ونحصل على :

${\displaystyle F(u,y)=f(x,y)-{\frac {\partial f}{\partial x}}x}$.

بالنسبة إلى التعريف الأخير يكون الجزء ${\displaystyle y}$ لنقطة المماس على ${\displaystyle f(x,y)}$ مع اتخاذ المستوي ${\displaystyle x=0}$ هي دالة ليجراند المحولة . وتوصف الدالات في ذلك المستوي بأنها "مقطع المحور" .

أي ينشأ تبديل المتغيرات من خلال طرح حاصل ضرب الإحداثيات الأولية والجديدة ${\displaystyle ux}$ من الدالة الأصلية :

${\displaystyle F(u,y)=f(x,y)-ux}$.

ويبدو ذلك واضحا عند مشاهدة إلى التفاضل الكلي لدالة ليجاندر المحولة :

${\displaystyle \mathrm {d} (f(x,y)-ux)=\mathrm {d} f(x,y)-x\,\mathrm {d} u-u\,\mathrm {d} x={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y-x\mathrm {d} u-u\mathrm {d} x={\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y-x\,\mathrm {d} u=\mathrm {d} F(u,y)}$.

يطبق تحويل ليجاندر في الفيزياء في مسائل الترموديناميكا الإحصائية ، مثل تحويل معادلات الانتقال بين الجهود الترموديناميكية تحت طروف معينة وكذلك عند الانتقال من دالة ليجاندر إلى ميكانيك هاميلتون أو إلى ميكانيك لاغرانج .

وفي علم الحركة الحرارية نستخدمها مع اختيار الإشارة السفلى، أي بوضع (${\displaystyle g=f-ux}$).

ويقوم تحويل ليجاندر - وكذلك تحويل نقاط الممسات بصفة عامة - بوظية هامة ي الميكانيكا و حساب التغيرات وفي نظرية المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى . وعند استخدام دالة ليجراندر المحولة في الميكانيكا نستخدم الإشارة العليا في المعادلة (${\displaystyle g=ux-f}$) طبقا للمتفق عليه.

في الميكانيكا نستنبط معادلة هاميلتون من معادلة لاغرانج عن طريق استخدام تحويل ليجاندر:

${\displaystyle H(q,p)=p\,{\dot {q}}(q,p)-L(q,{\dot {q}}(q,p))\quad {\text{with}}\quad p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}$

وفي الترموديناميكا يمكننا عن طريق تحويل ليجاندر استنباط الجهد الترمويناميكي من المعادلات الأساسية للترموديناميكا. عندئذ يمكن الانتقال من الطاقة الداخلية U (وهي تعتمد على الإنتروبيا) S إلى طاقة هيلمهولتز F التي تعتمد على درجة الحرارة T:

${\displaystyle F(T,V,N)=U(S,V,N)-\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)_{V,N}\cdot S=U-TS}$

وهنا يختص تفاضل المعادلة (U(S,V,N بانسبة لإنتروبيا S, حيث نضع كلا من V و N كثوابت .

بالمثل نستخدمها عند دراسة جهد ترموديناميكي وتحوله إلى جهد آخر، مثلما يحدث عند الانتقال من الإنثالبي H إلى طاقة جيبس G:

${\displaystyle G(T,p,N)=H(S,p,N)-\left({\frac {\partial H}{\partial S}}\right)_{p,N}\cdot S=(U+pV)-TS}$

وبالمثل نستطيع الحصول على جهود ترموديناميكية أخرى أننا عن طريق تحويل ليجاندر نستطيع الانتقال إلى إحداثيات معممة والتي عن طريقها يمكننا استبدالها بالقوة الترموديناميكية المقترنة.

رسم الرسم البياني للدالة e^x بخط أحمر ، ورسمت دالة تحويل ليجاندر لها بنقاط زرقاء .

الدالة الأسية e^x

لها دالة تحويل ليجاندر  x ln x − x&nbsp حيث أن مشتقاتها الأولى e^x و  ln x معكوسة بالنسبة لبعضها . وهذا يبين أن ليس من الضروري أن يتفق الحيزين الرياضييين للدالتين مع بعضهما .

كذلك بالنسبة إلى الدالة التربيعية :

${\displaystyle f(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\,x^{T}\,A\,x}$

حيث A مصفوف متناظر غير متغير (مصفوف n-في-n) ودالة تحويل ليجاندر له هي:

${\displaystyle f^{\star }(y)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\,y^{T}\,A^{-1}\,y}$

• ميكانيك لاغرانج
• معادلة هاميلتون
• ستة درجات حرية
• جسيم في صندوق
• جهد يوكاوا
• معادلة جيبس-هلمهولتز

• بوابة الفيزياء

في كومنز صور وملفات عن: تحويل ليجاندر