البرهان المباشر

برهن أن مربع أي عدد فردي يجب أن يكون فرديًا [2].  

البرهان:

1. ليكن ${\displaystyle x}$ عدداً فردياً.
2. لذا، يوجد عدد صحيح ${\displaystyle k}$ بحيث يكون ${\displaystyle x=2k+1}$
3. وعليه، نجد أن: ${\displaystyle x^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1=2(2k^{2}+2k)+1}$
4. إذن، ${\displaystyle x^{2}}$ عدد فردي.

استخدم البرهان المباشر لإثبات أن:[2]

${\displaystyle (\forall x)(\forall y)(\forall z)(x+z=y+z\implies x=y)}$

حيث ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ و ${\displaystyle z}$ أعداد صحيحة

البرهان:

1. نفرض أن: ${\displaystyle x+z=y+z}$
2. من خصائص الأعداد الجبرية، نجد أن: ${\displaystyle (x+z)+(-z)=(y+z)+(-z)}$ مما يعني: ${\displaystyle x+(z-z)=y+(z-z)}$ وبالتالي: ${\displaystyle x+0=y+0}$
3. إذن، ${\displaystyle x=y}$

برهن أن مجموع عددين زوجين صحيحين يجب أن يكون زوجيّاً.

البرهان:

1. نفرض أن ${\displaystyle x=2a}$، ${\displaystyle y=2b}$ حيث ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle x+z=y+z}$ أعداداً صحيحة.
2. لذا، ${\displaystyle x+y=2a+2b=2(a+b)}$
3. إذان ${\displaystyle x+y}$ عدد زوجي

برهن نظرية فيثاغورس .

البرهان:

لنفرض أنَّ مُثلثاً قائم الزاوية حيث قياسات أضلاعه هي ${\displaystyle a}$ ،${\displaystyle b}$ ،${\displaystyle c}$ . وهنا نقوم بنسخ المثلث أربع مرات بحيث يشكل كل ضلع طوله ${\displaystyle a}$ مستقيما مع ضلع طوله ${\displaystyle b}$ لمثلث آخر. وهنا نحصل في نهاية الأمر على مربع طول ضلعه ${\displaystyle a+b}$، كما في الشكل المجاور.

لنحسب مساحة المربع المحدد بالأضلاع ذات الطول ${\displaystyle c}$. بالطبع المساحة هي ${\displaystyle c^{2}}$، وتساوي أيضا فرق مساحة المربع الكبير ذو الضلع ${\displaystyle a+b}$ ومجموع مساحات المثلثات الأربع. مساحة المربع الكبير هي ${\displaystyle (a+b)^{2}}$ لأن طول ضلعه هو ${\displaystyle a+b}$. ومجموع مساحات المثلثات هي أربعة أمثال مساحة مثلث واحد، أي ${\displaystyle 4\times ab/2=2ab}$، إذن الفرق هو ${\displaystyle (a+b)^{2}-2ab}$، وبالتبسيط نجد أن ${\displaystyle (a+b)^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}+2ab-2ab=a^{2}+b^{2}}$. بهذا نكون قد برهنا على أن مساحة المربع ذو الضلع ${\displaystyle c}$ تساوي ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ، أي ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$.