إحصاء بوز-أينشتاين

إحصاء بوز-اينشتاين (Bose-Einstein Statistics) هي نظم لتوزيع الجسيمات الأولية في الإحصاء الكمومي[1][2][3] تتبعه جسيمات أولية لها عزم مغزلي = 0 أو 1 ، والشرط الثاني هو أن لا يكون بين الجسيمات قوى تربطها ببعض . تنتمي البوزونات إلى إحصاء بوز-اينشتاين. أما الفرميونات فهي ذات عزم مغزلي 1/2 وتتبع بذلك إحصاء فيرمي-ديراك.

ويعطي كل نظام منها عدد الجسيمات ${\displaystyle \langle n(E)\rangle }$ التي لها نفس الرقم الكمومي ذو طاقة E في حالة التوازن الحراري عند درجة حرارة معينة T كلفن لجسيمات متماثلة : بوزونات أو فرميونات.

في حالة عدم وجود تآثر بين تلك الجسيمات تعطينا المعادلة الأتية توزيع البوزونات (تتميز البوزونات بعزم مغزلي 0 أو Spin=1):

${\displaystyle \langle n(E)\rangle ={\frac {1}{e^{\beta (E-\mu )}-1}}}$

حيث:

μ الجهد الكيميائي

${\displaystyle \beta }$ تساوي عادة ${\displaystyle 1/(k_{B}T)}$

k_B ثابت بولتزمان

T درجة الحرارة كلفن

ويعتمد الجهد الكيميائي (أو الكمون الكيميائي ) μ على درجة الحرارة.

تعطينا المعادلة عدد الجسيمات في الحالة الكمومية E، عندئذ يمكن وصف عدد الحسيمات بدالة موجية كمومية واحدة. وإذا كانت الحالة E منفطرة (مفصصة طبقا لميكانيكا الكم) فيجب ضرب درجة الانفطار g_i في المعادلة السابقة.

عند درجة الحرارة الحرجة المنخفضة جدا ${\displaystyle T_{\lambda }}$ نحصل على الحالة الخاصة في عدم وجود تآثر بين الجسيمات، مع افتراض أن الجهد الكيميائي μ قريب من مستواه الأدنى، نحصل على تكثف بوز-أينشتاين.

وفي حالة توزيع فيرمي-ديراك نحصل على المعادلة السابقة ولكن يكون المقام مجموع أجزائه (+) بدلا من الفرق بين جزئيه(-).

أي:

${\displaystyle \langle n(E)\rangle ={\frac {1}{e^{\beta (E-\mu )}+1}}}$

وبالنسبة للفرميونات فهي تتبع إحصاء فيرمي-ديراك، وهي تتحول عند الطاقات العالية E إلى توزيع بولتزمان، كما يتحول أيضا توزيع بوز-اينشتين عند الطاقات العالية إلى توزيع بولتزمان. وكان توزيع بولتزمان أصلا يصف توزيع الذرات أو الجزيئات في نظام غازي في حالة توازن حراري.

تتميز الفرميونات أن لها عزم مغزلي 1/2.